Dört 4 bilmecesi

 
Dört adet 4 bilmecesi, kökleri 1880’li yıllara uzanan bir matematik oyunu. Oyunda, elinizde dört adet 4 bulunuyor. 4’leri kullanarak, ve bunlardan başka rakam kullanmadan, pozitif tam sayıları elde etmeye çalışıyoruz. İşlemlerde toplama (“\(+\)”), çıkarma (“\(-\)”), çarpma (“\(\times\)”) ve bölme’nin (“\(\div\)”) yanında faktöriyel (“\(!\)”), kök (“\(\sqrt{}\)”), üstel ifadeler (“\(4^4 gibi\)”) ve birleştirme (“44 gibi”) kullanabilirsiniz.
 
Bu kurallar sizi “20”lere hatta daha ötesine götürebilir. Ancak bu kadarı sizin için yeterli değilse, kuralları, ondalık (“\(.4\)” gösterimiyle), altfaktöriyel (“\(!n\) örneğin \(!4=9\) gibi”) ve yüzde (“\(\%\)”) gibi çeşitli operatörler ile genişletebilirsiniz.
 
Eğer bu da yeterli gelmezse, aşağıda, tüm pozitif tamsayılar için genel bir çözüm de mevcut.
 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 0

Çözümü görmek için tıklayın

İlk sıradaki çözüm oldukça basit. Tüm 4'lerin birbirlerini götürmeleri yeterli. Şöyle ki:

\(+ 4 - 4 + 4 - 4 = 0\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 1

Çözümü görmek için tıklayın

Burada ise, 4'leri birbirlerine oranlamak gerekiyor. Tek yapılması gereken, denklemde eşit sayıları birbirine oranlamak:

\(4 * 4 / 4 / 4 = 1\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 2

Çözümü görmek için tıklayın

Burada, parantez kullanmaya başlayabiliriz, şöyle ki:

\(4 * 4 / (4 + 4) = 2\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 3

Çözümü görmek için tıklayın

Parantez kullanımının diğer bir örneği. İlk üç adet 4'ü, sonuncusuna oranlayalım:

\((4 + 4 + 4) / 4 = 3\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 4

Çözümü görmek için tıklayın

Burada sıfırdan faydalanıp, ilk üç 4'ten kurtulalım:

\((4 - 4) / 4 + 4 = 4\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 5

Çözümü görmek için tıklayın

Bu da kolay örneklerden, elimizde yeterince 4 var:

\((4 * 4 + 4) / 4 = 5\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 6

Çözümü görmek için tıklayın

Kolay örneklerden biri daha. Tek yapmamız gereken 4'e ekleyecek bir 2 elde etmek

\((4 + 4) / 4 + 4 = 6\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 7

Çözümü görmek için tıklayın

Elimizde bir 3 olsa, 4'e ekler kurtuluruz:

\(4 - 4 / 4 + 4 = 7\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 8

Çözümü görmek için tıklayın

4'ün katları için doğrudan çözüme gitmek yeterli:

\(4 * 4 - 4 - 4 = 8\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 9

Çözümü görmek için tıklayın

Burada yapmamız gereken yalnızca bir adet 1 elde etmek:

\(4 / 4 + 4 + 4 = 9\)

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 10

 

Çözümü görmek için tıklayın

Bu noktaya kadar sorun yok. Ancak buradan sonra işler biraz karışmaya başlıyor. Burada, 10'u elde etmek için faktoriyel (!) kullanıyoruz:

\((4 - 4 / 4)! + 4 = 3! + 4 = 6 + 4 = 10\)

 

4 ? 4 ? 4 ? 4 = 11

Çözümü görmek için tıklayın

Bu da, karekök kullandığımız ilk çözüm. Şöyle ki:

\( (4! * \sqrt 4 - 4) / 4 = \frac{24*\sqrt{4}}{4} - \frac{4}{4} = \frac{24*2}{4} - 1 = 11 \)

 

 
… Ve bu şekilde bir süre daha ilerlemek mümkün. Peki ama bu soruya ait genel bir çözüm mümkün mü?
Aslına bakılırsa mümkün, ve bu nedenle de, genelde kullanılmasına izin verilmeyen bir operatör olan logaritma; şöyle ki:
$$ n = - \sqrt{4} * \text{ln}\left[\left(\text{ln}\underbrace{\sqrt{\sqrt{… \sqrt{4}}}}_\text{n adet}\right) / \text{ln}4\right] / \text{ln}4 $$

Burada, örneğin \(n\) yerine \(1\) yerleştirelim. Bu durumda:

$$\eqalign{
& - \sqrt 4 *\ln\left[ {\left( {\ln \sqrt 4 /\ln 4} \right)} \right]/\ln 4 \cr
& = - 2*\ln\left[ {{1 \over 2}*\ln 4/\ln 4} \right]/\ln 4 \cr
& = - 2*\ln\left[ {{1 \over 2}} \right]/\ln 4 \cr
& = {{ - 2*( - 1)*\ln2} \over {2*\ln 2}} \cr
& = {{2*\ln2} \over {2*\ln 2}} \cr
& = 1 \cr} $$

Ve benzer şekilde, tüm pozitif tam sayıları elde etmek mümkün. Bu nedenle, kurallar içerisinde genelde kullanılmasına izin verilmiyor. Ancak siz tabii ki arkadaşınızla iddiaya girip, farkına varana kadar kendisini bir süre ütebilirsiniz.
 
Kaynaklar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Four_fours
http://mathforum.org/ruth/four4s.puzzle.html