Tüm Doğal Sayıların Şaşırtıcı Toplamı: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12 (Numberphile) | Video

 

Meşhur YouTube kanallarından Numberphile‘ın bu videosunda, Nottingham Üniversitesinde görev yapmakta olan Tony Padilla ve Ed Copeland bir matematiksel ilginçliği tartışıyorlar.

Aşağıdaki belirtildiği şekilde, tam sayıların toplamı \(-1/12\)’ye gidiyor olabilir mi?

\[\sum\limits_{n = 1}^\infty n \to – \frac{1}{{12}}\]

Sicim Kuramı için kullanılmakta olan ders kitaplarından (en azından) birine göre olabilir!

Sicim Kuramı - Joseph Polchinski
Joseph Polchinski tarafından yazılan Sicim Kuramı isimli kitapların, ilk cildinin 23. sayfası (görsel: Numberphile)

Fakat bu yanıtın birçoğumuz için tatmin edici olmaktan uzak olduğu ortada. Elbette, bilimde ve matematikte tatmin edici olmaktan uzak olan pek çok şey olduğunu da unutmamak gerekiyor. Bu anlamda, sorgulayıcı bir yaklaşım ne kadar yerindeyse, kestirip atan, ayrıntıları duymak bile istemeyen bir yaklaşım, tartışmayı daha başlamadan bitirdiği için bir o kadar değersizdir.

Aşağıda video yayımlandıktan sonra, videodaki konuşmacılardan, Prof. Tony Padilla’nın, video etrafında dönen tartışmalara yanıt olarak kaleme aldığı yazının çevirisini bulabilirsiniz. Bu çevirinin varlığı, elbette, ikna olmanızı gerektirmiyor ve bu nedenle eklenmedi. Eğer böyle bir şeyin nasıl olabileceğini merak ediyorsanız, veya en azından olamayacağından eminseniz fakat hatanın nerede bulunduğunu bulmak/anlamak istiyorsanız, okumaya devam etmenizi öneririz.

 

-oo-

 

Tüm Doğal Sayıları Toplarsak Ne Elde Ederiz?

 

Tüm doğal sayıları toplarsak ne elde ederiz? Yakın zamanlı Numberphile videomuzda sorduğumuz soru buydu. Verdiğimiz cevap ise, eminim birçoklarını şaşırtan bir şekilde \({-1/12}\) idi. Bu cevap hiçbir şekilde aşikâr değildir, ancak bu değer, bu ıraksak seri ile ilişkilendirebileceğimiz yegâne akla yatkın değerdir. Sonsuz, akla yatkın bir değer değildir. Ben, bir fizikçi olarak, fiziksel gözlemlenebilirler arasında sonsuzun bir yeri olmadığı ve dolayısıyla doğada da bir yeri bulunmadığı kanısındayım. Kuantum mekaniğinin kurucularından David Hilbert sonsuzu, “fiziksel bir içeriği olmayan matematiksel bir soyutlama” şeklinde tarif eder. Fizikçilerin çoğunun buna güçlü bir şekilde katılacağını düşünüyorum. Sorun, videoda tartıştığımız türden ıraksak toplamların Casimir enerjisi veya bozonik sicim kuramındaki Evrenin boyutluluğu gibi fiziksel gözlemlenebilirlerle ilgili hesaplamalarda ortaya çıkıyor olmasıdır. Yalnız son derece cesur bireyler bu türden toplamlarla sonsuz değerini ilişkilendirmeyi akıllarından geçirebilir. Fizikle ilgili konuşmaya başladığınızda, eksi bir bölü on iki, çok daha az çılgınca bir değerdir.

Bununla birlikte, yorumları, tweetleri ve blogları okuduktan sonra bana tekrar “tüm doğal sayıları toplarsak ne elde ederiz?” diye sorulsa, sanırım cevabım artık “insanları mutsuz ederiz” olacaktır. Görebildiğim kadarıyla iki tür itiraz mevcut: Absürt görünümü nedeniyle basitçe cevabı kabul etmeyen kişiler, ve videoda sunulan “kanıt”a itirazı olanlar. Bu ilk gruptan kişilere, sonuç tamamen mantık dışı görünmesine rağmen, bu toplama bu oldukça mantık dışı görünen değerin atanmasını gerektiren oldukça açık bir matematiksel bağlam olduğunu konusunda temin ederim. Ve benim için en önemli tarafı, Fizik hakkında konuşuyorsak akla yatkın olmasıdır. Bununla ilgili matematik oldukça derin ve karmaşık olduğu için ayrıntılarına burada girmeyeceğim. Bunun yerine sizleri bazı çevrimiçi kaynaklara yönlendireceğim, dilerseniz bu {İngilizce} kaynaklardan ilerleyebilirsiniz:

  1. Sayı kuramcısı ve Fileds madalyası sahibi Terry Tao’nun blogu
  2. Sicim kuramcısı Lubos Motl’un blogu
  3. Arizona Üniversitesinden Brydon Cais’in notları
  4. Ramanujan’ın Hardy’ye mektubu

Videodaki “kanıt”a itiraz eden ikinci grup izleyiciler için şunu belirtmeme izin verin: Genel olarak ıraksak serilerin, cengaverce bir tavırla manipüle edilemeyeceğine ve edilmemesi gerektiğine bir itirazım yok. Gerçekten, Abel’in de dediği gibi, “Iraksak seriler şeytanın icadıdır, ve herhangi bir ispatı bunlar üzerine kurmak utanç vericidir.” Bununla birlikte, videoda gerçekleştirdiğim manipülasyonların hiçbiri, Hardy’nin Iraksak Seriler adlı kitabının 1. bölümünde ortaya konan üç aksiyomun hiçbirini ihlal etmemektedir. Fakat belki daha da önemlisi, birazdan göstereceğim gibi, bunların her biri analitik devam kullanılarak, ıraksak serilerin tamamen geçerli manipülasyonlarına tasvir edilebilir {İng. to map}. Analitik devam, analitik fonksiyonların tanım kümelerini genişletmemize yarayan son derece güçlü bir araçtır. Fonksiyonların yalnızca belirli bölgede tanımlanmış olduğu düşünülebilir, ancak analitik devam bunun farklı bölgelere genişletilebilmesini sağlar. Analitik devamın altında yatan fikir aslına bakılırsa oldukça basittir. Bir örnek vereyim. Bir parçacığın konumunu beş saniye boyunca tam olarak bildiğimi farz edin (bu, elbette, kuantum mekaniğinde mümkün değildir, bu nedenle klasik tarafta kalalım). Parçacığın hareketinin ani değişikliklere maruz olmadığını – yani düzgün olduğunu – farz edelim (bu analitik olan kısım). Dolayısıyla, bu zaman aralığında konumu böyle kesin olarak bildiğim için, bu zaman aralığındaki herhangi bir noktada da konumunu, hızını, ivmesini ve ivmesinin değişim oranını, vesaire de bilirim. Aslına bakılırsa, bu noktadaki tüm türevlerini bilirim. Eğer bunları biliyorsam ve hareket yeterince düzgün ise, asıl bilgisine sahip olduğum beş saniyenin ötesinde de parçacığın herhangi andaki konumunu çıkarsayabilirim. Yani parçacığın hareketini, en azından sezgisel bir anlamda, bu ilk beş saniyenin ötesinde analitik olarak sürdürmüş olurum. Elbette burada analitik devam için yalnızca sezgisel bir anlayıştan bahsediyorum. Gerçek durumda, gerçel doğrudan ziyade, karmaşık düzlemdeki açık kümeler üzerinde tanımlanmış analitik fonksiyonlar söz konusudur; ancak işin özünü anladınız.

Analitik devam, fiziğin tüm alanlarında kullanılır. ‘t Hooft ve Veltman, analitik devamı Yang Mills kuramında ortaya çıkan, görünürde ıraksak olan aralıkları düzenlileştirmek için kullanmışlar ve bu onlara 1999 yılında Nobel Ödülünü getirmiştir. Karadeliğin sezgisel zıttı olan beyazdelik kavramı, karadeliğin, başlangıçtaki bölgesinin ötesinde analitik olarak devam ettirilmesi üzerine kuruludur. Benim hedefim bundan biraz daha az iddialı. Ben analitik devamı, videoda yaptıklarımı biraz olsun temellendirmek için kullanmak istiyorum. Gerçekleştirdiğim manipülasyonların her biri, belirttiğim gibi, analitik devam kullanılarak ıraksak serilerin tamamen geçerli manipülasyonlarına tasvir edilebilir. Bu nedenle çıkardığım formüller geçerlidir ve elimde bulundurduğum, gizli, analitik devam silahı sayesinde de manipülasyonlar geçerlidir. Bu iddiamı kanıtlamama izin verin:

Karmaşık düzlemde üç seri tanımlayalım, burada \(z \in \mathbb{C}\) olsun.

\[S_1(z)=1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left[(n+1)^{-z}-n^{-z} \right] \]

\[S_2(z)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-z}\]

\[S(z)=\sum_{n=1}^\infty  n^{-z}\]

Şimdi, bu serilerin her biri \(Re(z)>1\) için yakınsaktır; bu nedenle bunları bu bölgede istediğim gibi manipüle edebilirim. Bunların sonuncusu, Riemann-Zeta fonksiyonuna, \(\zeta(z)\), karşılık gelir ve \(\zeta(1-z) = 2(2\pi)^{-z} cos(\pi z/2) \Gamma(z)\zeta(z)\) bağıntısı kullanılarak \(Re(z)<0\) bölgesine devam ettirilebilecekleri yaygın olarak bilinmektedir. Elbette, tüm doğal sayıların toplamının \(-1/12\) olduğunun kanıtlanmasında bu bağıntının kendisi anahtar görevi görür. Bununla birlikte, bu ifadeyi, genel ifadelerin videoda gerçekleştirilen manipülasyonlara analitik devamı için kullanacağız. Bu anlamda, yukarıdaki seriler \(z=-1\) için, videoda tartışılanlara indirgenir:

\[S_1(-1)=1-1+1-1+ \ldots\]

\[S_2(-1)=1-2+3-4+ \ldots\]

\[S(-1)=1+2+3+4+ \ldots\]

Videodaki ilk adımda, aşağıdakini yazıyorum:

\[\begin{align} 2S_2 =&1-2+3-4+\ldots \\ +&0+1-2+3-\ldots
\\=&1-1+1-1+\ldots
\\=&S_1\end{align}\]

Bununla birlikte, burada yaptığımız, aslında aşağıdaki şekildedir:

\[\begin{align} 2S_2(z)=&\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-z}+\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n} (n-1)^{-z} \\
=&\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+2} (n+1)^{-z}+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-z} \\
=&1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left[(n+1)^{-z}-n^{-z} \right]\ \\
=&S_1(z)
\end{align}\]

Videodaki bir sonraki adımda aşağıdakini yazıyorum:

\[\begin{align} S-S_2=&1+2+3+4+\ldots\\
-&(1-2+3-4+\ldots )\\
=&4+8+\ldots \\
=&4S\end{align}\]

Elbette, burada aslında yaptığımız, Ed tarafından ekstra görüntülerde gösterildiği şekildedir. Şöyle ki:

\[\begin{align} 2S_2(z)=&\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-z}+\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n} (n-1)^{-z} \\
=&\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+2} (n+1)^{-z}+\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-z} \\
=&1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left[(n+1)^{-z}-n^{-z} \right]\ \\
=&S_1(z)
\end{align}\]

Bu manipülasyonların \(Re(z)>1\) için tamamen geçerli olduğunu hatırlayalım. Şimdi analitik devama başvurabilirim, çünkü \(S(z)\) tam olarak Riemann-Zeta fonksiyonudur ve bunu \(Re(z)<0\) bölgesine nasıl genişletebileceğimi biliyorum. Bu, yukarıdaki ifadelerin tümünün \(Re(z)<0\) için ve daha özel olarak da videodaki manipülasyonlar için söz konusu olan \(z=-1\) için geçerli olduğu anlamına gelir. Iraksak serilerin cengaverce manipülasyonlarının tehlikelerle dolu olduğunu kabul ediyorum; ancak temelinde analitik devam bulunan bu özel örnekte, bu şekilde hareket edebilirim. Bunun, matematik konusunda sınırlı eğitim almış kişilerin takip edebileceği bir sunum olmasını istediğim için her şeye rağmen bu yöntemi kullandım.

Başlangıç noktası olarak da, \(S(-1)=1/2\) şeklindeki Grandi serisini aldım. Elbette, bu değeri tersine mühendislikle elde ettim. Zeta fonksiyonu düzenlileştirmesinin doğrudan \(S(-1)=-1/12\) yazmama izin verdiğini ve buradan da \(S_1(-1)=1/2, ~S_2(-1)=1/4\) elde edildiğini biliyordum. Bu videoyu ne şekilde gerçekleştirmem gerektiğini düşünürken bu değerlere baktım ve bunlardan hangisinin sezgisel olarak en akla yatkın olanı olduğunu, hangisinin meslekten olmayan kişilerin keyfini en az kaçıracağını düşündüm. Böylece, \(S_1(-1)=1/2\) şeklindeki Grandi serisinde karar kıldım. Grandi serisinde, kısmi toplamlar 0 ila 1 arasında salınır ve bu nedenle de bu ikisinin ortalaması, uzman olmayan bir kimseye tamamen akıl dışı bir değer gibi görünmez. Tüm pozitif tam sayıların toplamına negatif bir değer atamaktan daha akla yatkın göründüğü ise kesin!

Aynı zamanda Grandi serisine \(1/2\) değerini atamamızın nedeninin “ortalama” almak olmadığını da belirtmek isterim. James Grime’ın videosunda tartıştığı gibi, bu atamayı gerçekleştirmek için Cesaro toplaması kullanılabilir. Aslında ben, gerçekleştirdiğim manipülasyonlar nedeniyle, bu atama için aslında zeta fonksiyonu düzenlileştirmesini kullandım. Fakat bu ayrıntıların tamamından videoda bahsetmem mümkün değildi. Yalnızca uzman olmayan izleyicilere, halihazırda aşina olabilecekleri bir başlangıç noktası sağlamak ve bunu ayrıntılara boğulmadan yapmak istedim. Buradan, yukarıda tarif edilen manipülasyonlarla ve her adımda \(z=-1\) alarak, \(\sum_{n=1}^\infty n =-1/12\) gibi çılgınca bir noktaya varabileceğimi biliyordum. Adımların \(Re(z)>1\) için geçerli olması ve analitik devam, bunu yapabileceğim anlamına geliyordu ve tartışmanın bu şekilde çok daha sade ve uzman olmayan kişiler için çok daha anlaşılabilir olacağı anlamına geliyordu; (bazı) sözüm ona uzmanların keyfini kaçıracak olmasına rağmen.

Daha geniş bir toplulukla iletişime geçebilmek için katı akademik yaklaşımdan ne kadar uzaklaşabileceğimiz devam etmekte olan bir tartışma başlığıdır. Benim gördüğüm kadarıyla videomuz, matematik konusunda eğitimi olan ve olmayan muazzam sayıda kişiye ulaşmış ve internet forumlarında, iş yerlerinde ıraksak toplamlar hakkında tartışmalarını sağlamıştır. Bu kötü bir şey olamaz; ve sunumun basitliğinin buna son derece büyük bir katkısı olduğunu kanısındayım. Aslına bakılırsa eğer asıl sorumuz olan “doğal sayıları toplarsak elimize ne geçer” sorusuna dönersek, sanırım diğer bir cevap da şu olabilir: İnsanların matematik tartışmalarını sağlarız.

 

-oOo-

 

Yazan: Dr. Tony Padilla
Orijinal adı: What do we get if we sum all the natural numbers?
URL: http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html

 

Bu yazı Bilimvesaire.com’da Prof. Tony Padilla’nın nazik izniyle yayımlanmıştır. Kendisinin akademik sayfasına buradan ulaşabilirsiniz.

 

Not: Eğer bu videoyu beğendiyseniz, videoda görmüş olduğunuz, Tony Padilla ve Ed Copeland imzalı sarı Numberphile kağıdı için Ebay üzerinden gerçekleştirilen açık artırmaya buraya tıklayarak ulaşabilirsiniz. Açık artırmadan elde edilecek gelir Matt Henderson’un tedavi masraflarında kullanılacaktır. Matt’in hastalığı ve yardımda bulunmak için daha fazla bilgiye buradan ulaşabilirsiniz. Bilimvesaire ailesi olarak Matt’e acil şifalar diliyoruz.